如果一個數學證明需要幾百萬次的加減乘除，多到人類一輩子都看不完，那它還算是真正的「證明」嗎？ 1. 召喚鋼鐵巨獸 1970 年代，伊利諾大學香檳分校的兩位數學家——肯尼斯·阿佩爾 (Kenneth Appel) 與 沃爾夫岡·哈肯 (Wolfgang Haken)，決定接下四色猜想這個燙手山芋。 當時的圖論學者已經知道，要證明四色猜想，就必須找出一個包含所有可能地圖特徵的「不可避免集 ...

數學裡最可怕的問題，往往是那些連小學生都能聽懂，卻連最偉大的天才都解不開的謎題。 1. 植物學家的隨口一問 1852 年，英國植物學家兼業餘數學愛好者法蘭西斯·古德里 (Francis Guthrie)，正在桌前為一幅英格蘭的地圖上色。 為了讓地圖看起來清晰，有一個顯然的規則：相鄰的兩個郡（國家），不能塗上一樣的顏色（否則邊界就會糊在一起，看不出是兩個地區）。 古德里塗著塗著，突然發...

尤拉教我們如何優雅地走過每一座橋。但如果我們的目標不是走過橋，而是拜訪每一個城市呢？ 1. 天才的木製玩具 時間來到 1857 年，愛爾蘭都柏林。 這裡有一位偉大的數學家與物理學家——威廉·盧雲·哈密頓 (William Rowan Hamilton)。他以發現「四元數」與重構經典力學（哈密頓力學）而聞名於世。但在他晚年，為了賺取一點外快，他發明了一款名為「環遊世界 (The Icos...

數學家通常在書桌前尋找真理，但這一次，真理藏在市民們悠閒的午後散步裡。 1. 普魯士的市民難題 故事發生在 18 世紀的普魯士城市——哥尼斯堡 (Königsberg)（今俄羅斯加里寧格勒）。 這座城市被普列戈利亞河切分成四個陸地區塊（包含兩個島嶼），城市裡建有七座橋樑將這些陸地連接起來。當時的哥尼斯堡市民在午後散步時，常常會玩一個益智遊戲： 「有沒有可能從某塊陸地出發，把這七座橋剛...

我們曾經以為，語言和創造文字是人類獨有的神聖領域，因為那需要真正的「理解」與「靈魂」。直到機器學會了「預測下一個字」。 1. 語言的困境與 Attention Is All You Need 雖然深度學習在影像辨識 (CNN) 和圍棋 (AlphaGo) 上取得了巨大成功，但在處理「人類語言」時卻一直卡關。 早期的語言模型（如 RNN 與 LSTM）在閱讀長篇大論時，會像金魚一樣「看了...

西洋棋考驗的是邏輯，但圍棋考驗的是直覺與大局觀。許多人曾經堅信，冰冷的機器永遠無法理解什麼是「直覺」。 1. 最後的智力堡壘：圍棋 1997 年，IBM 的超級電腦「深藍 (Deep Blue)」擊敗了人類西洋棋世界冠軍卡斯帕洛夫。當時的 AI 主要依靠強大的硬體算力與「暴力搜尋 (Brute-force Search)」——它能在幾秒內窮舉出未來幾十步的所有可能走法。 但在古老的東方...

演算法就像引擎。如果你只有一台法拉利的引擎，卻沒有汽油，它哪裡也去不了。對神經網路來說，「數據」就是汽油。 1. 李飛飛與愚公移山的 ImageNet 進入 21 世紀，網際網路與數位相機的普及，讓人們每天在網路上產生數以億計的圖片。但當時的人工智慧，仍然連區分一隻狗和一隻貓都顯得很吃力。 為什麼？因為機器學習界陷入了一個盲點：大家都把精力花在微調那些精緻但狹隘的演算法上，卻忽略了餵給...

真正的科學革命，往往是由那些在最黑暗的時代裡，依然不願向主流妥協的「瘋子」所點燃的。 1. 被邊緣化的學術毒藥 1990 年代，人工智慧正處於第二次寒冬的冰河期。當時主導機器學習領域的，是一種基於嚴謹統計學與數學理論的演算法，稱為「支持向量機 (Support Vector Machine, SVM)」。 SVM 的數學推導優美無瑕，效果也很好。在這種氣氛下，曾經在 1960 年代被明...

當科學家發現無法為機器創造一個真正的「大腦」時，他們決定換個方法：把世界上最聰明的人類的腦袋「複製」進電腦裡。 1. 把專家的知識寫成程式碼 經過 1970 年代第一次 AI 寒冬的洗禮，人工智慧領域瀰漫著失敗的氣氛。早期的「符號主義」學者們原本以為，只要機器擁有邏輯推理能力，就能解決所有問題。但現實狠狠打了他們一巴掌：光有邏輯是不夠的，你還需要「知識」。 一位名為愛德華·費根鮑姆 (...

在達特茅斯會議的耀眼光芒下，有一條幽暗的小徑被遺忘了。這條小徑上的人不屑寫邏輯程式，他們想直接用電線「焊接」出一個大腦。 1. 另闢蹊徑的瘋子：法蘭克·羅森布拉特 在 1950 年代末，當主流的「符號主義」學者們正忙著用 if-else 邏輯規則教電腦下棋與證明數學定理時，康乃爾大學的一位心理學家法蘭克·羅森布拉特 (Frank Rosenblatt) 走上了一條截然不同的路。 他對冷...