深度講堂：巴塞爾問題——尤拉的無窮直覺

這個圖展現了無限平方倒數之和，如何與圓周率產生神祕的連結。

在 17 世紀，數學家們都被一個問題難倒了：所有正整數平方的倒數和是多少？

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots = ?\]

這個問題被稱為「巴塞爾問題」。當時最頂尖的數學家（包括伯努利家族）都知道這個級數會收斂，但沒人知道那個精確的數值是多少。直到尤拉出現，他給出了一個讓所有人大吃一驚的答案：$\frac{\pi^2}{6}$。

為什麼無限個正數相加，最後會出現圓周率 $\pi$？

1. 尤拉的奇想：將正弦函數看作多項式

尤拉首先寫下了 $\sin x$ 的泰勒級數（在 $x=0$ 附近）：

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]

為了方便研究它的根，他將兩邊除以 $x$：

\[\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots\]

2. 利用根與係數的關係

尤拉知道，方程式 $\frac{\sin x}{x} = 0$ 的根，就是 $x = \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$。

如果我們把一個多項式寫成它的因式分解形式： \(P(x) = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{(2\pi)^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{(3\pi)^2}\right)\dots\)

尤拉大膽地假設：對無窮多項式來說，這個因式分解依然成立！

3. 展開與對比

現在，讓我們把上面這個無窮乘積展開，並只看 $x^2$ 的係數：

\[P(x) = 1 - \left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \dots \right)x^2 + \dots\]

對比 $\frac{\sin x}{x}$ 的泰勒級數中 $x^2$ 的係數：即 $-\frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}$。

因此： \(\frac{1}{\pi^2} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots \right) = \frac{1}{6}\)

兩邊同乘以 $\pi^2$，我們得到了那個震撼世界的結論： \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)

為什麼這很了不起？

這個證明在當時並不被認為是「嚴謹」的（因為無窮乘積的收斂性需要更深層的證明），但尤拉的直覺卻精確命中了真理。這不僅解決了巴塞爾問題，更啟發了後來黎曼 (Riemann) 對 $\zeta$ 函數的研究。

這就是尤拉的魅力：他像是一個能在迷霧中看見終點的嚮導，即便路徑還沒修好，他也已經站在山頂向我們揮手。